文章目录 特征值和特征向量的几何意义特征值和特征向量的数学描述特征值分解特征值分解的过程参考资料
特征值和特征向量的几何意义
矩阵和向量作乘法，向量会变成另一个方向或长度的新向量，主要会发生旋转、伸缩的变化
如果矩阵乘以某些向量后，向量不发生旋转变换，只产生伸缩变换
那么就说这些向量是矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值
特征值和特征向量的数学描述
如果 A 是 n 阶方阵，数 λ 和 n 维非零列向量 x 是 A 的对应于特征值的特征向量，有：
A x = λ x Ax = λx Ax=λx
也可以写成：
( A ? λ E ) x = 0 (A-λE)x = 0 (A?λE)x=0
特征值分解
特征值分解就是将一个矩阵分解成：
A = P Λ P ? 1 A=PΛP^{?1} A=PΛP?1
P 是这个矩阵 A 的特征向量组成的矩阵
Λ 是特征值组成的对角矩阵，里面的特征值是由大到小排列的，这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向。
特征值分解的过程
解下面的线性方程组：
∣ A ? λ E ∣ = 0 |A ? λE| = 0 ∣A?λE∣=0
即：
可以解出 n 个特征值： λ 1 , λ 2 , . . . , λ n λ_1 , λ_2 , … , λ_n λ1?,λ2?,…,λn?
再把 n 个特征值代入下面的式子：
( A ? λ E ) x = 0 (A – λE)x = 0 (A?λE)x=0
可以求出 n 个对应的特征向量： P 1 , P 2 , … , P n P_1 , P_2 , … , P_n P1?,P2?,…,Pn?
对于每一个特征值与特征向量满足：
A x i = λ i x i Ax_i=λ_ix_i Axi?=λi?xi?
令：
对于 n 个特征值和特征向量可写成：
可得：
A P = P Λ AP = PΛ AP=PΛ
如果矩阵 P 可逆，有 A = P Λ P ? 1 香港vps A = PΛP^{?1} A=PΛP?1
参考资料
方阵的特征值分解：https://zhuanlan.zhihu.com/p/40144787
特征值分解、奇异值分解、PCA概念整理：https://blog.csdn.net/jinshengtao/article/details/18448355
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