行列式 n阶行列式行列式的性质行列式展开余子式和代数余子式按行、按列展开公式 几个重要的公式抽象方阵行列式的公式
n阶行列式
设有 n 2 n^2 n2个数，排成n行n列的数表
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号 ( ? 1 ) τ (-1)^\tau (?1)τ ，得到形如
的项，其中p1,p2,…,pn,为自然数1,2,…,n的一个排列，当排序为偶排序时，为正1；奇排序时为负1。由于这样的排列共有n!个，因而形如上式的项共有n!项。所有这n!的代数和
称为n阶行列式，记作
行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等。互换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论： 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论： 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和：
则D等于下列两个行列式之和
把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。 行列式展开 余子式和代数余子式
在n阶行列式中，把元素 a i j a_{ij} aij?所在第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a_{ij} 的 余 子 式 ， 记 作 的余子式，记作 的余子式，记作M_{ij}$，记
vps云服务器 A i j = ( ? 1 ) i + j M i j A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} Aij?=(?1)i+jMij?
A i j A_{ij} Aij?叫做元素 a i j a_{ij} aij?的代数余子式。
按行、按列展开公式
行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
推论：
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
几个重要的公式 主对角线有值，其他元素均为0时
副对角线有值，其他元素为0时：
上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积
关于副对角线的行列式
两个特殊的落寞的老鼠展开式
A和B分别为m和n阶矩阵
∣ A ? 0 B ∣ = ∣ A 0 ? B ∣ = ∣ A ∣ ? ∣ B ∣ \begin{vmatrix} A & * \\ 0 & B \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} A & 0 \\ \ast & B \end{vmatrix}= |A|\bullet|B| ∣∣∣∣?A0??B?∣∣∣∣?=∣∣∣∣?A??0B?∣∣∣∣?=∣A∣?∣B∣
∣ 0 A B ? ∣ = ∣ ? A B 0 ∣ = ( ? 1 ) n m ∣ A ∣ ? ∣ B ∣ \begin{vmatrix} 0 & A \\ B & \ast \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \ast & A \\ B & 0 \end{vmatrix}= (-1)^{nm}|A|\bullet|B| ∣∣∣∣?0B?A??∣∣∣∣?=∣∣∣∣??B?A0?∣∣∣∣?=(?1)nm∣A∣?∣B∣范德蒙行列式
抽象方阵行列式的公式
拓展：
∣ A T ∣ = ∣ A ∣ , ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ |A^T|=|A|,|kA|=k^n|A| ∣AT∣=∣A∣,∣kA∣=kn∣A∣如果矩阵A与B相似，则二者行列式相等。 A A ? = A ? A = ∣ A ∣ E AA^*=A^*A=|A|E AA?=A?A=∣A∣E 13319521
