我读硕士老师给我的第一篇论文就是一个分位数回归的文章，当时觉得这个模型很简单，我很快就用R的示例文件写了一个例子，但是，在后面的研究中，我越来越觉得，这个模型没有我想的那么简单，而且有着非常丰富的内涵需要来挖掘，就找了好几本书来看，结果真的是越看越懵，越看越懵，但是懵了一段时间之后，又重新感觉自己明白点了，所以赶紧把这一点进行一个总结,省的再放一段时间，连仅有的这一点懂的东西都没有了。
首先随机变量X的分布函数为：
则它的??分位数可定义为：?
若将分布函数F（x）的逆定义为：
则
设有随机向量（X，Y），其中Y在给定X=x的情况下的条件累积分布函数为?，则将该条件随机变量Y|X=x的??条件分位数定义为：?
假定我们有样本序列??满足下列回归模型，即
假定误差项??为独立同分布的序列，且分布情况未知，这Y的??条件分位数?
式中，??为分位回归领域的损失函数，有些地方也称之为检验函数。??为示性函数。不包含示性函数的损失函数为
损失函数同样可以用下面一个公式进行表示：
则我们希望??尽可能的小，最好等于0，则：
最优解为
用样本经验分布函数代替F（x）则
这些是分位数回归的一些基本思想，这仅仅只涉及到基本的分位数线性回归，还有较为复杂的核回归在随后的研究中再进行更新。
下面我们来看一下代码实现。
分位数回归可以使用R中的quantreg包进行实现，我们就是用该包中的示例数据构建分位数回归模型：
首先加载数据和包
library(SparseM)library(quantreg)data(“engel”)
engel的这个数据中有两个变量一个变量是income，代表每个家庭的收入，另一个变量是foodexp代表食物支出，数据的大致情况是这样的：
我们来建立一个0.5分位数回归：
fit1 <- rq(foodexp ~ income, tau = .5, data = engel)fit1summary(fit1)
我们使用summary来看一下模型的大致情况：
大体上来看，income的??值是有意义的（95%置信区间未包含0），即income变动一个单位，foodexp的0.5分位数变动0.56个单位。我们可以通过summary的se参数数据的不同假设，iid即为独立同分布的假设。
我们可以使用quantreg内置的函数计算模型拟合的残差，并绘制残差图：
r1<-resid(fit1)#计算残差plot(r1)
残差图数据均匀分布在（-200,200）的区间中，模型拟合的结果还是可以的。
接下来，我们可以画出，income和foodexp的散点图，并绘制不同分位数的分位回归曲线。
attach(engel)plot(income, foodexp, cex = 0.25, type = “n”, xlab =”Household Income”, ylab = “Food 香港vps Expenditure”)points(income,foodexp , cex = 0.25, col = “blue”)abline(rq(foodexp ~income , tau = 0.5), col = “blue”)abline(lm(foodexp ~income ), lty = 2, col = “red”)taus <- c(0.05, 0.1, 0.25, 0.75, 0.9, 0.95)for (i in 1:length(taus)) { abline(rq(foodexp ~income , tau = taus[i]), col = “gray”)} detach(engel)
图中的蓝色实线代表0.5分位回归的回归曲线，红色虚线代表使用最小二乘法拟合的线性回归曲线，几条灰色的曲线，代表0.05, 0.1, 0.25, 0.75, 0.9, 0.95的分位数回归曲线。
我们可以看到不同分位数的分位回归曲线的斜率不同，0.5分位数的分位回归曲线和线性回归曲线的斜率也不相同，则可以认为，income对于foodexp不同的分位数影响不同，据此，我们将绘制不同分位数的分位回归曲线的置信区间图，来进一步探讨income对于foodexp的影响。
engel<-within(engel,xx <- income – mean(income))fit1 <- summary(rq(foodexp~xx,tau=2:98/100,data = engel))plot(fit1,mfrow = c(1:2))
上图绘制了0.02到0.98这个区间中，每隔0.01做一次分位回归，其中黑色实心点代表回归曲线的??值，阴影部分代表95%置信区间，红色实线和虚线分别代表的是，线性回归曲线的?值和置信区间。从图中可以看出，income对于0.02分位的foodexp的影响在0.35左右，对于0.98分位的影响在0.7左右。
不同分位数的分位回归的?值是否是由于抽样误差造成的，我们同样需要假设检验进行验证，那么我们使用Wald 检验进行验证。 得到如下结果，P值小于0.05可以认为不同分位数回归的??值是有差异的。
fit1 <- rq(y ~ x, tau = 0.25)fit2 <- rq(y ~ x, tau = 0.5)fit3 <- rq(y ~ x, tau = 0.75)anova(fit1, fit2, fit3)
R（编程语言）
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