概述
ANC指Active Noise Control，主动降噪。基本原理是降噪系统产生与外界噪音相等的反向声波，将噪音中和。图1是feedforward式主动降噪耳机的示意图。ANC芯片放置在耳机内。Ref mic（reference microphone）在耳机耳罩上，采集环境噪音。Error mic（Error Microphone）在耳机内，采集降噪处理后的残差噪声。Speaker播放ANC处理后的anti-noise。?
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图1?
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原理
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图2?
图2是ANC系统的原理图，一共三层，用虚线分隔。最上一层primary path是从ref mic到error mic的声学通道，响应函数用P(z)P(z)表示；中间一层是模拟通道，其中secondary path是adaptive filter输出到返回残差的通路，包括DAC、reconstruction filter、power amplifier、speaker播放、再采集、pre-amplifier、anti-aliasing filter、ADC；最下一层是数字通路，其中adaptive filter不断调整滤波器权系数来削减残差，直到收敛。最常用的方案是用FIR滤波器结合LMS算法来实现adaptive filter。简化图2，得到图3。
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图3?
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先简要说几句adaptive filter和LMS（Least mean square）算法的原理，再说图3。如图4，给定输入xx和desired output?dd，adaptive filter每次迭代会更新系数，使其输出yy与dd之差越来越小，直到残差足够接近0且收敛。LMS是adaptive filter的一种更新算法。LMS的目标函数是瞬时误差的平方e2(n)=(d(n)?y(n))2e2(n)=(d(n)?y(n))2，为了minimize目标函数，对其应用梯度下降就得到算法的更新公式。（这种利用gradient descent来最小化某个objective，从而得到待求参数的更新公式的算法思想非常常见，比如linear regression。）采用FIR滤波器的LMS算法的更新公式为：w(n+1)=w(n)+μe(n)x(n)w(n+1)=w(n)+μe(n)x(n)?，其中μμ为step size。如果随着迭代进行调整μμ的大小，就是变步长的LMS算法。
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图4?
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再来说图3。这里adaptive filter输出后还要经过S(z)S(z)才去和desire output比较，S(z)S(z)会引起instability，用文献的话说，“the error signal is not correctly ‘aligned’ in time with the reference signal”，破坏了LMS的收敛性。（这里还没弄懂什么意思T__T）一种有效的方法是FXLMS（Filtered-X LMS），也就让x(n)经过S?(z)S^(z)再输入给LMS 模块，?S?(z)S^(z)是S(z)S(z)的估计。FXLMS的objective：
e2(n)=(d(n)?s(n)?[wT(n)x(n)])2,e2(n)=(d(n)?s(n)?[wT(n)x(n)])2,
所以gradient=?2e(n)s(n)?x(n)?2e(n)s(n)?x(n)，其中s(n)s(n)未知，用其estimate近似，所以FXLMS的更新公式是
w(n+1)=w(n)+μe(n)x′(n),w(n+1)=w(n)+μe(n)x′(n),
其中x′(n)=s?(n)?x(n)x′(n)=s^(n)?x(n)?。
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当adaptive filter收敛时，E(z)=X(z)P(z)?X(z)W(z)S(z)≈0E(z)=X(z)P(z)?X(z)W(z)S(z)≈0，因此W(z)≈P(z)/S(z)W(z)≈P(z)/S(z)。也就是说，自适应滤波器的权系数是由耳机的primary path和secondary path决定的。耳机的primary path和secondary path相对稳定，所以adaptive filter的权系数也相对稳定。因此为实现简单，某些厂家的ANC耳机的权系数在出厂时就确定了。当然这种ANC耳机的听感体验明显不及具有真正自适应意义的ANC耳机，因为在实际情况下，外部噪声相对耳机的方向、不同温度等因素会对耳机的通道响应有影响。
Matlab验证
写Matlab代码，用变步长LMS的adaptive filter，得仿真结果如图5。在0到2KHz范围内，利用feedforward ANC消ajdc白噪，噪声衰减平均30dB+。Matlab库里的FXLMS是定步长的，效果要差一些。
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图5?
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Q&A
遇到的困惑写出来分享一下。?
1. ANC为什么只针对2kHz以下的低频噪音？?
一方面，耳机的物理隔音方式（被动降噪）可以有效阻挡高频噪音，没必要用ANC降高频噪声。另一方面，低频噪声波长较长，可以承受一定的相位延迟，而高频噪声波长短，对相位偏差敏感，因此ANC消高频噪声并不理想。?
2. 当electronic delay比primary delay大时，算法性能大大下降如何理解？?
P(z)延时小，S(z)延时大，比如P(z)=z-1, S(z)=z-2，只有当W(z)=z才能满足要求，非因果，unreachable。?
3. Feedforward ANC、narrow-band feedforward ANC、feedback ANC有什么区别？?
Feedforwad结构有一个ref mic和一个error mic，分别采集外部噪音和内部残差信号。feedback结构只有一个error mic，由error mic和adaptive filter output生成reference signal。?
Broad-band feedforward就是上面所述结构，而narrow-band结构中，noise source会产生某个signal触发signal generator，signal generator再生成reference signal送给adaptive filter。只适用于消除periodic noise。?
Feedback ANC由于只有error mic，用error mic来恢复feedforward结构中ref mic采集的信号，通路不满足因果约束，因此只消除predictable noise components，即窄带周期性噪声。需要注意的是，feedforward如果不满足因果约束，即electronic delay比主通道acoustic delay长的话，也只能消除窄带周期性噪声。?
另外还有一种Hybrid ANC的结构，同时包含feedforward和feedback结构，主要的优点是可以节省自适应滤波器的阶数。
Reference
主要参照[1]，非常详细的一篇tutorial review，书[2]详细推导和说明了[1]中的细节。图1截自jabra官网，图2和图3来自[3]，图4来自Wikipedia。
[1]: Kuo S M, Morgan D R. Active noise control: a tutorial review[J]. Proceedings of the IEEE, 1999, 87(6):943-973.?
[2]: Kuo S M, Morgan D. Active Noise Control Systems: Algorithms and DSP Implementations[M]. John Wiley & Sons, Inc. 1996.?
[3]: Kajikawa Y, Gan W S, Kuo S M. Recent advances on active noise control: open issues and innovative applications[J]. Apsipa Transactions on Signal & Information Processing, 2012, 1(2):e3.
