PoPoQQQ没有给出形式二的证明，我恨PoPoQQQ，证了好久。
证明之前，请先看看PoPoQQQ的ppt，dydc看完发现没有证明想哭的时候，看看这篇便宜香港vps博客。
bmdxz反演定理形式一：
F(n)=∑d|nf(d)=>f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)
证明:
恒等变形得：
f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)
因为之前证明的这个定理：
∑d|nμ(d)={10n==1n>1
所以当且仅当 nk=1 ，即n=k时， ∑d|nkμ(d)=1 ,其余时候等于0。
故
∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)=f(n)
bmdxz反演定理形式二：
F(n)=∑n|df(d)=>f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)
证明：
令 k=dn ,那么，就得到 f(n)=∑k=1+∞μ(k)F(nk)=∑k=1+∞μ(k)∑nk|tf(t)=∑n|tf(t)∑k|tnμ(k)
所以当且仅当 tn=1 ，即t=n时， ∑k|tnμ(k)=1 ,其余时候等于0。
故得到 ∑n|tf(t)∑k|tnμ(k)=f(n)
证明完毕。
19616403
