Eigenfunctions and Eigenvalues
算子 A A A的特征函数是一个函数 f f f， A A A对 f f f的应用后得到 f f f乘以一个常数。
A f = k f A f = k f Af=kf
k是一个常数，叫做特征值。
易证，如果 A A A是一个带有一个特征函数 g g g的线性算子，那么 λ g \lambda g λg也是 A A A的一个特征函数。
线性算子
线性算子，我当前姑且作为线性映射来看。因为从我获得的资料来看，有些书将线性算子与线性映射是等价的，但是wiki似乎另有说法。
f : V → W f:V \rightarrow W f:V→W 被称为是线性映射，如果对于 V V V中任何两个向量 x x x和 y y y与任何标量 a a a，满足下列两个条件：
可加性： f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) f(x+y)=f(x)+f(y) f(x+y)=f(x)+f(y)
齐次性： f ( a x ) = a f ( x ) f(ax)=af(x) f(ax)=af(x)
这等价于要求对于任何向量 便宜香港vps x 1 , … , x m x_{1},\ldots ,x_{m} x1?,…,xm?和标量 a 1 , … , a m a_{1},\ldots ,a_{m} a1?,…,am? 方程
f ( a 1 x 1 + ? + a m x m ) = a 1 f ( x 1 ) + ? + a m f ( x m ) f(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m})=a_{1}f(x_{1})+\cdots +a_{m}f(x_{m}) f(a1?x1?+?+am?xm?)=a1?f(x1?)+?+am?f(xm?)
成立。
