数列求和(1).1^4+2^4+3^4+.+n^4 (2).1^5+2^5+3^5+.+n^5
以下证明利用到：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6和1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2；
证明：（1）2^5=(1+1)^5=1^5+5×1^4+10×1^3+10×1^2+5×1^1+1
3^5=(2+1)^5=2^5+5×2^4+10×2^3+10×2^2+5×2^1+1
……
(n+1)^5=n^5+5×n^4+10×n^3+10×n^2+5×n^1+1
上式相加,相同项消去
(n+1)^5=1^5+5×(1^4+2^4+……+n^4)+10×(1^3+2^3+……+n^3)+10×(1^2+2^2+……n^2)+5×(1+2+……+n)+(1+1+……+1)
5×(1^4+2^4+……+n^4)=(n+1)^5-10×[n(n+1)/2]^2-10×n(n+1)(2n+1)/6-5×n(n+1)/2-n-1
化简得1^4+2^4+……+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30?
（2）方法和上面差不多,把左边的5次方改为6次方即可,在此不再赘述.
结果为(n+1)^2 * n^2 * (2n^2+2n-1) / 12
追问： 写出（2）的具体过程才能加分 追答： 2^6=(1+1)^6=1^6+6×1^5+15×1^4+20×1^3+15×1^2+6×1^1+1 3^6=(2+1)^6=1^6+6×2^5+15×2^4+20×2^3+15×2^2+6×2^1+1 …… (n+1)^6=1^6+6×n^5+15×n^4+20xn^3+15×n^2+6×n^1+1， 上式相加，相同项消去 (n+1)^6=1^6+6×(1^5+2^5+……+n^5)+15×(1^4+2^4+……+n^4)+20×(1^3+2^3+……n^3)+15x（1^2+2^2+……n^2）+6×(1+2+……+n)+(1+1+……+1) 1^5+2^5+3^5+…….+n^5 = (n+1)^2 x n^2 x(2n^2+2n-1) / 12 美国高防vps
1^5+2^5+3^5+……+n^5=
1*C(1,n)+31*C(2,n)+180*C(3,n)+390*C(4,n)+360*C(5,n)+120*C(6,n)
求1^5+2^5+3^5+…+n^5.
首先写出和式的前6项
即1^5=1 2^5=32 3^5=243 4^5=1024 5^5=3125 6^5=7776
再求出相邻两数之差,得
31 211 781 2101 4651
再次求出相邻两数之差,得
180 570 1320 2550
再次求,一直求到只剩一个数为止
390 750 1230
360 480
120
最后,取每一组数的第一个数（包括原数组）,得：1,31,180,390,360,120
则1^5+2^5+3^5+……+n^5=
1*C(1,n)+31*C(2,n)+180*C(3,n)+390*C(4,n)+360*C(5,n)+120*C(6,n)
对于某一个p,有一种通法可以求1^p+2^p+3^p+…+n^p.
首先写出这个和式的前(p+1)项,
即
1^p 2^p 3^p 4^p …… (p+1)^p
然后求出相邻两数之差,得到的差有p个
再求出差的相邻两数之差,得到的差有(p-1)个
一直求下去,求到只剩一个差为止.
最后,包括原数组1^p 2^p 3^p 4^p …… (p+1)^p,一共有(p+1)组数.
取每组数的第一个数a1、a2、a3、a4……a(p+1)（注：这(p+1)个数的顺序为为求得差时的顺序.）
则1^p+2^p+3^p+…+n^p
=a1*C(1,n)+a2*C(2,n)+a3*C(3,n)+…+a(p+1)*C(p+1,n)
83708876
